三次元グラフィック（浮動小数版） [ThreeD]

1. ◆ 三次元座標変換、三次元クリッピング

変換を高速に行うために、変換の内容をあらかじめ数式で計算しておき、 できた変換行列をプログラミングします。

三次元変換は、

1. オブジェクト固有のボディ座標系をワールド空間に配置した ワールド座標系
2. さらに視野変換した視点座標系
3. さらに変換したクリッピング座標系
4. さらに透視変換した透視座標系
5. さらにビュー＆ウィンドウ変換したスクリーン座標系、

プログラムでは、以下のように処理が分かれます。

1. オブジェクトごとに、ボディ座標系からワールド座標系へ
2. 全ポリゴンを、ワールド座標系からクリッピング座標系へ
3. 全ポリゴンを、クリッピング
4. 全ポリゴンを、クリッピング座標系からスクリーン座標系へ

1. オブジェクトごとに、ボディ座標系からワールド座標系へ
2. 全ポリゴンを、ワールド座標系からスクリーン座標系へ

1-1. 変換行列

(x,y,z,w) * T1 * T2 = (X,Y,Z,W)

x y z w

*

xX xY xZ xW yX yY yZ yW zX zY zZ zW wX wY wZ wW

=

X Y Z W

• T1, T2 : 以下に示す 4x4 の変換行列, T1 の変換が先に行われる
• x,y,z : 変換前の座標
• X,Y,Z : 変換後の座標
• w,W : 乗数、(X,Y,Z,W) のとき (x,y,z) = (X/W, Y/W, Z/W)

同じ座標系においてある点の座標を変換する場合と、 同じ位置の座標に対して座標系を変換する場合では、 逆変換の関係があります。
(x,y,z,w)の右側に行列をかける場合と、左側にかける場合では、 同じ変換でも行列が異なり、転置（行と列を交換した行列）の 関係があります。

1-2. 平行移動変換

1-2-1. CAD工学 p69

(x,y,z,w) * Move(x,y,z) = (X,Y,Z,W)

x y z w

*

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 x y z 1

=

X Y Z W

1-3. 回転変換

1-3-1. CAD工学 p67

X 軸まわり：(x,y,z,w) * RotX(θ) = (X,Y,Z,W)
Y 軸まわり：(x,y,z,w) * RotY(φ) = (X,Y,Z,W)
Z 軸まわり：(x,y,z,w) * RotZ(α) = (X,Y,Z,W)
座標系は右手座標系、 角度は軸に対して右ねじ方向を正とする。

x y z w

*

1 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 0 -sin θ cos θ 0 0 0 0 1

=

X Y Z W

x y z w

*

cos φ 0 -sin φ 0 0 1 0 0 sin φ 0 cos φ 0 0 0 0 1

=

X Y Z W

x y z w

*

cos α sin α 0 0 -sin α cos α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

=

X Y Z W

sin, cos は、角度から求めなくても、Y成分/斜辺長, X成分/斜辺長 から計算することができます。

Y 軸回転の sin の符号が逆な理由は、 Y 軸から見て Z→X が右ねじ方向なためです。 （X 軸から見たら Y→Z, Z 軸から見たら X→Y が右ねじ方向）

1-4. 視野変換

1-4-1. CAD工学 p100

ワールド座標系から視点座標系への変換です。
(x,y,z,w) * View(xf,yf,zf,β,α) = (X,Y,Z,W)
View(xf,yf,zf,β,α) = Move(-xf,-yf,-zf) * RotY(-α) * RotX(-β)

x y z w

*

cosα sinα*sinβ -sinα*cosβ 0 0 cos β sin β 0 sinα -cosα*sinβ cosα*cosβ 0 -xf*cosα-xf*sinα -xf*sinα*sinβ-yf*cosβ+zf*cosα*sinβ xf*sinα*cosβ-yf*sinβ-zf*cosα*cosβ 1

=

X Y Z W

1-5. 透視変換

1-5-1. CAD工学 p74, p102

視点座標系から透視座標系への変換です。
(x,y,z,w) * Through(h) = (X,Y,Z,W)
h = xy平面を投影面としたときの視点の Z座標

x y z w

*

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 -1/h 0 0 h 0

=

X Y Z W

1-6. 正規化透視変換

1-6-1. CAD工学 p104

変換後の透視座標系の値が次の範囲に収まるようにする変換です。

• 投影面の中にある場合、x, y は -1〜 1
• 投影面を z=0, 無限遠を z=1

(x,y,z,1) * NThrough(k,h) = (X,Y,Z,W)
k = 正方形の投影面における１辺の長さの半分
h = xy平面を投影面としたときの視点の Z座標

x y z w

*

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -k/h 0 0 k 0

=

X Y Z W

1-7. 三次元クリッピング

1-7-1. CAD工学 p109

クリッピングの判定を容易にするために、 視点座標系をクリッピング座標系に変換します。
(x,y,z,1) * NClip(k,h) = (X,Y,Z,W)
k = 正方形の投影面における１辺の長さの半分
h = xy平面を投影面としたときの視点の Z座標

x y z w

*

h/k 0 0 0 0 h/k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

=

X Y Z W

クリッピング座標系では、z < x < -z, z < y < -z（z は負） が真のときに、ピラミッドの側面より内部にあると判定できます。

クリッピングは透視変換する前に行わないと、 Z 値がおかしくなります。 それは、線形補間によってクリッピングされる x,y 座標を 求めたとしても Z 値は線形でないからです。

1-8. 参考文献